均值-方差模型+Black-Litterman模型的理解与分析

By | 2018年5月18日

目录:

  1. 均值-方差模型
  2. Black-Litterman模型

 

1.均值-方差模型

1.1 模型概述

均值-方差模型是由H.M.Markowitz(哈里·马科维茨)在1952年提出的风险度量模型。

投资者迫切需要解决的问题:

  1. 如何测定投资组合的收益与风险;
  2. 如何平衡收益与风险这两项指标进行资产分配。

均值-方差模型对收益与风险的定义:

  1. 单一证券的收益——通过对近期的多个投资周期内实际收益率的样本均值进行计算来估计。
  2. 投资组合的收益——对同一投资周期内各种金融产品的收益率进行加权平均。微信截图_20180518142425
  3. 单一证券的风险——用收益的波动性来衡量。若某一证券收益的波动性越大,即每期的实际收益率与收益率均值之间的偏离越大,也就是收益的方差越大,则表示这种证券收益的不确定性越大,从而增大了其风险。
  4. 投资组合的风险——通过整个投资组合收益率的方差进行衡量。若投资组合中包括 M 种证券,而受行业、经济环境等影响,这 M 种证券的收益率之间往往存在一定的关联性,比如某种证券价格升高,往往会出现其他证券价格的升高或下跌。在统计学中,通常用协方差或者相关系数来表示这种关系。微信截图_20180518142803

对于投资组合中第 a 种和第 b 种证券,假设其预期收益率分别是 rea 和 reb,而每期的实际收益率分别为 rat 和 rbt,则 a 和 b 之间的协方差就可表示为:

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投资组合的关键就在于在满足投资者偏好的基础上,权衡收益和风险,从而确定证券组合中每种证券所占有的资金比例 ωi,满足收益和风险的目标。

这是一个典型的多目标优化问题,决策目标如下:

  1. 尽可能高的收益率(收益最大化);
  2. 尽可能低的不确定性风险(风险最小化)。

所以,均值-方差模型的数学化公式可以表示成以下 3 种:

  1. 在达到一定收益率 R0 的前提下最小化风险函数;微信截图_20180518144216
  2. 在风险一定的情况下,使收益函数最大化;微信截图_20180518144326
  3. 不预先给出R0和σ²的值,因为收益和风险是需要同时满足的目标,此时模型的解并不是一个确定的解,而是一组解,即投资组合的有效前沿。微信截图_20180518144624

以上几种模型均是经典均值方差模型的表示方式,都能够有效地反映 Markowitz 投资组合问题,应用也都比较广泛。由于 Markowitz 投资组合问题是复杂的求解问题,因此求解的计算量很大,所以在具体问题中选用哪种模型则需要考虑投资组合问题的目标以及工具的承受能力。

1.2 投资组合有效前沿

在实际投资中, 每个投资者对预期的风险和收益都有所不同。对于极度风险规避的投资者来说,他会选择低风险低收益的相对安全的投资组合;相反,对于风险偏好的投资者,则会选择高风险高回报的冒险投资。

假如我们将收益和风险反映到坐标轴上,风险 V 为 x 轴,收益 E 为 y 轴,则不同的投资组合就对应着坐标轴第一象限内不同的点。随着证券组合中不同证券权重的变化,代表不同投资组合的点也会在象限内不断的移动,所有可能的点构成的区域就是投资组合问题的可行域。在不允许卖空的情况下,根据投资组合中收益和风险的计算公式,对于包含多种证券的投资组合来讲,可以得到类似于下图的可行域。

微信截图_20180518145716

如图所示,封闭图形内都是投资组合可能的解,当然,由于投资组合的种类多种多样,所以说投资组合可行域的形状也并不是单一的。但有一点可以确定的是,对于以风险为横坐标轴,收益为纵坐标轴的坐标系来说,投资组合的可行域的左前沿必为凸集,以保证最优组合都能包含到可行域中。这也就涉及到了投资组合有效前沿的问题。

对于只考虑风险和收益的投资组合问题来说,如果说某一个投资组合有效,那么在可行解空间内,它一定是同一风险时预期收益率最高的,或者是同一预期收益率时风险最低的,这就是投资者的共同偏好规则。

正如图中显示的,当收益同为 rB 时,不同投资组合可以对应不同的风险,而显然,在可行域中,当取到 B 点所对应的投资组合时为最优投资组合,因为此时对应着风险最小的解;同理,当风险同为σB2 时,同样可以取线段 BC 内的任一点作为可选的投资组合,但显然 B 点仍然是最优点,因为 B 点满足在相同风险条件下收益最大。

另外,图中所示 A 点代表的投资组合是最小方差组合,也就是风险最小时对应的投资组合。所以在投资者共同偏好原则的作用下,投资组合的有效前沿即图中的实线部分。由图可知,当坐标轴中需要最小化的风险为 x 轴,需要最大化的收益为 y 轴时,投资组合有效前沿为一条上凸曲线,是最优投资组合所对应的收益和风险的集合,而具体选择有效前沿上对应的哪一种投资方案,则需要不同投资者根据其个人偏好做出选择。

1.3 模型的假设

虽然 Markowitz 投资组合理论在投资组合研究领域起着不可或缺的作用,但不得不承认,在实际运用时该理论也存在着一定的局限性。

  1. 只考虑一个投资周期。投资者只需在期初进行一次资金分配,一直到期末都不需要再改变决策。而在实际操作中,投资者通常在期初分配资金后,还需要依据市场情况随时调整决策,以达到更好的投资效果。
  2. 忽略交易费用等其他成本。交易费用在投资管理中的地位非常重要。
  3. 假设证券是无限可分的。这与实际的证券市场不相符,在我国,证券交易的单位是手(1 手=100 股)。
  4. 市场是有效的。但我国的证券市场开始于 20 世纪 90 年代,尚属于并不成熟的市场,而且与其他国家的证券市场不同,我国的证券市场受到政府的影响较大。
  5. 投资者是完全理性的。他遵循的原则是:在相同的预期报酬率下选择风险小的证券,或者在相同的投资风险下选择预期报酬率最大的证券。
  6. 每个资产的收益率均服从正态分布。在市场有效合理的前提下,我们对收益率加上限定,认为其均服从正态分布。

均值-方差模型是一个从现实高度抽象的模型,因此并不能很好的适用于实际情况。

1.4 模型存在的问题

  1. 投资者需要估计所有单个资产的预期收益率和资产间的协方差矩阵,并需要通过所有已知的数据对均值方差模型求解。在这个过程中,首先面临着数据是否有效的问题,期望收益率实际上是不可知的,只能用以前的数据进行估计,这就造成了数据误差的存在。而且,在获取数据时,不可避免的会出现数据有误或缺失的情况,因此很难做出完美的估计。
  2. 样本数据的选取区间难以确定。股票的预期收益、协方差都是通过历史数据来计算的,样本区间的选取不同预测的预期收益差别很大。区间的大小也可能决定了协方差的数值,因为时间越久越能体现两个股票的关联性。此外,有些股票有具体的收益周期,所以样本区间的选取对结果影响很大。
  3. 均值方差理论缺乏稳定性输入参数的微小变化都会引起权重发生较大变化。资产预期收益率、波动率或者相关性(协方差)的微小变化对最优化过程中输出的解有巨大影响,导致Markowitz模型求解得到的资产配置不可信,可能与理论上的最优配置相差很大。(表现并不能显著超过最简单的所有资产等权重的投资组合)
  4. 由于预期收益率和协方差矩阵是估计值而非真实值,随机性很大且含有噪声,因此输入本身存在估计误差,而这些估计误差的累积将最终导致最优投资组合的风险被低估。通过原始Markowitz 模型得到的回报估计也通常会高于理论最优回报,即回报被高估
  5. 当投资组合中的证券数量增多时,理论中涉及的数据量将呈现出几何倍数增长的态势,无论对于获取还是计算来说,都是很大的工作量。此外,投资者进行投资时,面对的往往是多种资产,而每种资产对应多种投资比例,也就是说此时投资者面对的投资组合种类繁多。因此,传统的手工计算并无法迅速准确地求解投资组合问题。
  6. 交易费用、无风险资产等未在模型中体现。交易费用在投资管理中的地位非常重要,此外我国投资者通常会考虑加入无风险资产以起到风险分散的作用。
  7. 该模型摆脱了传统股票预测模型的以时间维度为主要计算标准的方法,而是从已知的多支股票行情数据的关联性出发,以两两股票之间的关联性(协方差)为主要参考量来确定两两股票之间的买入数量比例。所以该模型并不能解决“选股”问题,而只是确定备选股票的买入比例问题。
  8. 模型的分析面过于狭窄。该模型只是从数理统计的角度对股票投资组合进行科学研究,但主要的出发点并不是来自对股票交易实质和本身股票所在行业所属企业真实的经营业绩的研究,本文的模型主要是借助以往数据来判断股票投资合理的组合方式。
  9. 在均值方差模型中,同时涉及到收益和风险这两个影响投资者决策的目标问题, 是典型的多目标优化问题,如何对二者进行合理的权衡成为研究的难点,而这也一度成为均值方差模型广泛应用的瓶颈。
  10. 模型只能计算出组合风险的大小,并不能细化风险构成,有可能组合收益受到个别资产收益的掌控,因此并不能很好的分散风险。
  11. 仅用方差度量风险过于粗糙。在该模型下,一个投资组合收益的正向波动和负向波动都被看作是投资组合的风险。然而对于实际的投资者而言,只有后者才是真正的风险,前者反而是投资者们乐见其成的。

1.5 对模型的改进

如何对均值-方差模型进行适当的改进以使其更好地应用于市场,尤其是我国的市场,也是多年来学者们关注的焦点。

  1. 添加限制条件。如考虑交易费用加入无风险资产最小交易单位投资者资金受限不允许卖空等,使模型更贴近实际情况,增强模型的适用性。
  2. 加入新参数。在原始模型的基础上,将风险承受能力投资周期流动性等作为参数建立新的模型。
  3. 调整模型输入的协方差。协方差矩阵的大多数信息都包含在大约5%的特征值中,使用样本协方差矩阵求解最优投资组合并不是十分合适,因为与最小风险投资组合相关的样本协方差矩阵最小特征值极易受到估计误差的影响。可根据所使用的模型,将估计得到的最优投资组合的风险向上做适当调整,以调整后的值作为最终的预测结果;或者对协方差矩阵进行降噪以及特征调整等。
  4. 指数加权移动平均。通过给予不同时刻的数据不同的权重来避免“幽灵效应”(当市场中某天出现了不正常波动,在简单移动平均的假定下波动性的估计值在很长时间内都会受影响,但在现实生活中,这种异常的情况通常很快就可以回归到正常水平),由于越靠近当前时刻的数据影响力越大,因此给予越靠近当前时刻的数据越大的权重,给予越远离当前时刻的数据越小的权重。
  5. 加入未来信息。基于历史数据推断的随机变量的分布与真实分布可能存在差异。即使不存在上述偏差,由于投资收益是发生在未来的,而根据历史数据估计的参数忽略了未来信息,导致参数可能与实际值有偏差。

均值-方差模型是开创性的变革,将证券投资组合研究带入了一个全新的阶段。但由于其过为苛刻的假设条件,该模型在实际应用领域却极为有限。

2.Black-Litterman模型

现代投资组合理论的开创者 Markowitz 认为多元化的投资组合可以分散非系统性风险,并且在1952年通过量化的数学模型,构建了现代投资组合理论的框架。

随后几十年,各国学者根据不同的市场状况,提出了相应的模型。其中1992年提出的Black-Litterman资产配置模型就是一种很好的优化。该模型在传统的M-V模型基础上添加了投资者的主观观点,然后求解出一个新的投资权重用于资产配置当中。

2.1 模型概述

Black-Litterman模型以Markowitz均值-方差模型为框架,结合了Sharp等人提出的资本资产定价模型,并加入了投资者根据自身判断的主观投资观点,同时投资者需在自己的主观观点的基础上设定相应的置信度,然后通过Bayes方法结合均衡收益主观观点收益,得到后验收益率。最终将该后验收益率放入Markowitz模型当中,求解出最终的投资组合权重

也就是说,BL模型将以下2点进行加权平均,得到最终的资产期望收益:

  1. 市场均衡收益。市场中实际形成的收益,通过历史数据的分析获得。(历史信息)
  2. 投资者主观观点收益。其中设定相应的置信度。(先验信息)

由于市场具有不确定性,在投资行为上,投资者的经验往往对市场也会产生重要的影响,这也是将主观观点引入均值-方差模型当中的一个重要因素。

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具体的计算分析过程如上图所示,其中:

  1. 风险厌恶系数 λ 是一个数值,没有单位,它表达了风险和回报之间的一种关系。一般情况下,采用Idzorek提出的公式计算 λ;
  2. Σ 是一个 n*n 的资产收益率的协方差矩阵;
  3. ωmkt 是市场均衡条件下的投资组合权重,
  4. 此时,就得到了隐含的市场均衡收益率π,也就得到了投资组合当中每个资产对应的隐含市场均衡收益率;
  5. Q 是一个 k*n 的投资者观点矩阵,并赋予观点置信度。投资者可以选择对投资组合中每一个资产类别均持有自己的观点,也可对投资组合中的部分资产持有观点,而对剩余资产不设定观点;
  6. Ω 是一个 k*k 的投资者观点误差矩阵,并且是一个对角阵。投资者主观判断出的资产收益率与实际情况往往有差异,此时我们用误差项ε来表示。误差项不是随意的,它是一个服从正态分布的随机变量,其均值是0,而协方差则是投资者观点误差矩阵Ω,正因为观点是相互独立的,所以矩阵Ω是一个对角阵,而其中的对角项即为投资者对自身观点的信心水平。
  7. 最后,将市场均衡收益率π结合投资者通过各种途径得到的定量的主观观点,结合目标函数的约束条件,最后求解出最优的投资组合权重。

在BL模型当中,我们先观察均衡市场状态下的各资产权重,通过逆优化的方法,从而计算出市场均衡收益;不同于原始的均值-方差模型,需要首先从历史数据中估计出预期收益向量,以此作为模型的输入参数,再通过线性规划的方法,求解出最终的投资组合权重。 许多研究证明,通过这种方式得出市场均衡收益,相比于通过历史数据得到市场均衡收益,更为行之有效。

2.2 模型存在的问题

  1. 原始的BL模型对于投资者观点矩阵的选择过于随意。如果投资者能力水平较高,具有很强的辨识能力,并且可以获得较多的市场信息,那么他作为主观观点的执行决策者,可以很好地将BL模型运用到实际投资中。然而,我们的市场中往往有很多投资人,无论是受个人能力的限制,还是受外来因素的影响,总之完全根据个人主观判断而做出的观点抉择通常会带来一个较低的收益,并不能达到模型预期的效果。
  2. 如何设定观点置信度。投资者更了解自己投资的资产基本情况,对自己的观点比较有信心,可以将投资者观点收益的置信度设在较高的水平之上,这会导致最终结果与市场均衡收益产生较大偏差;同样的,如果投资者对自己的投资观点信心不足,可以调低相应的置信度,模型计算出的结果会与市场均衡收益更相匹配。

 

2.3 模型改进方案

在波动程度较大的市场环境中,该模型具有一定的缺陷和不足。

  1. 引入信息比率。通过信息比率测定因素调整相应的观点收益置信水平。当信息比率小于观点置信水平时,信息比率设定为2;如果投资者的置信度设定使得信息比率超过2,此时投资者需要调整相应的置信水平,才能使得模型求解出最优的投资組合。
  2. 修正观点误差矩阵。在缺少风险约束的条件下,BL模型的投资组合权重符合直觉性的要求。即投资者会对历史收益率较高的资产配以较高的权重,而对于较低收益率的资产会给予负的权重,做出卖空的选择。
  3. 通过将Copula函数应用到BL模型当中,可以放宽原模型中对正态分布的假设,同时变量之间允许存在非线性关系。这一改进,使得模型可更好的适用于实际市场环境当中。

改进实例:

  1. Litterman和Winkelmann(1996) 通过 GRACH 模型构建协方差矩阵。该方法适用于资产数量较少的情况,当涉及资产数量较大时,并不适用。
  2. Krishnan和Mains(2005) 通过引入外生变量,构建双因子模型,引入宏观经济变量和信贷等作为参考对象。拓展了BL模型应用的环境,考虑到了宏观因素,在特定条件下,具有良好的效果。
  3. Beach和Orlov(2007) 利用EGARCH-M模型对BL模型中的投资者观点进行修正。
  4. Palomba(2008) 结合了 GARCH-FDCC 模型,建立了风险跟踪模型。当跟踪误差超过设定的数值时,模型会自动给出风险警告,以此来控制风险。
  5. 在Black-Litterman模型的基础上,首先利用 RBF 径向基函数神经网络模型获取量化的观点作为输入;其次,利用GJR-GARCH-M模型捕捉市场复杂的波动规律。将两者得到的结果替代原Black-Litterman模型中的投资者主观观点,最终以新模型求解新的投资权重,可以有效提升投资组合整体收益状况。

 

 

参考文献:

  1. 刘腾娇. 多目标投资组合均值方差模型的改进及应用研究[D]. 哈尔滨工业大学, 2016.
  2. 张勔. 基于优化的Black-Litterman模型证券资产配置研究[D]. 中国科学技术大学, 2015.
  3. 汤志坚. 基于改进Black-Litterman模型的证券资产配置研究[D]. 大连理工大学, 2013.

 

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